- 导数是数学中非常重要的概念，它能反应出速度变化的快慢，尤其在AI的算法分析，优化以及数据挖掘中用到很多
引例1
- 变速直线运动的速度
- s是距离，t是时间，v是速度
- 设描述指点运动的位置函数为
$s = f(t)$ - 则$t_0$到t的平均速度为
$\overrightarrow{v} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$ - 而在$t_0$时刻的瞬时速度为
$v = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$
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引例2
- 曲线的切线斜率
- 曲线C:
$y = f(x)$ 在M点处的切线MT，与x轴夹角是$\alpha$ - MN是曲线C的一条割线，与x轴夹角是$\beta$
- 割线MN的极限位置MT(当$\beta \to \alpha$时)
- 切线MT的斜率
$k = tan \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} tan \beta$ - 割线MN的斜率
$tan \phi = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 如图虚线所示的比 $k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ - 可见增量比的极限就是曲线C在M点处的切线MT
- 曲线C:
- 设函数y=f(x)在点$x_0$的某临域内有定义
- 设$\triangle y = f(x) - f(x_0)$
- 设$\delta x = x - x_0$
- 若$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}$ 存在
- 则称函数f(x)在点$x_0$处可导，并称此极限为y=f(x)在点$x_0$的导数
- 记为：
$\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$ $f'(x_0)$ $\mathop{{\left. \frac{dy}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$ $\mathop{{\left. \frac{df(x)}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$ - 以上四种均可表示，即：$\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}} = f'(x_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)}{\triangle x}$
常数和基本初等函数的导数公式
仅供查阅
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1 ） 函数的和、差、积、商的求导法则
- 设
$u = u(x), v = v(x)$ 都可导，则- (1)
$(u \pm v)' = u' \pm v'$ - (2)
$(Cu)' = Cu'$ (C是常数) - (3)
$(uv)' = u'v + uv'$ - (4)
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \neq 0$ )
- (1)
2 ) 反函数的求导法则
- 如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f'(y) \neq 0$
- 则它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x = { x| x = f(y), y \in I_y }$内也可导，且有
-
$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}$ 或$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
3 ) 复合函数求导法则
- 设$y=f(u), u=\varphi (x)$, 则复合函数$y = f[\varphi (x)]$的导数为
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = f'(u)*\varphi ' (x)$
例子1
- 求$y=2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$的导数
- $y' = 23x^2 - 52x + 3 + 0$
$y' = 6x^2 - 10x + 3$
例子2
- 已知$f(x) = x^3 + 4cosx - sin \frac{\pi}{2}$, 求$f'(x) 、f'(\frac{\pi}{2})$
- $f'(x) = 3x^2 - 4sin x - 0$
$f'(x) = 3x^2 - 4sinx$ $f'(\frac{\pi}{2}) = 3*(\frac{\pi}{2})^2 - 4*\frac{\pi}{2}$ $f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{3}{4} \pi^2 - 4$
例子3
- 求$y=\sqrt{x} * ln x$的导数
$y' = (\sqrt{x}'ln x + \sqrt{x}(ln x)')$ $y' = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}} * ln x + \sqrt{x} * \frac{1}{x}$ $y' = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{ln x}{2} + 1)$
例子4
- 求$y=e^x(sin x + cos x)$的导数
$y' = (e^x)'(sin x + cos x) + e^x(sinx + cosx)'$ $y' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cosx - sinx)$ $y' = e^x * 2 * cos x$ $y' = 2 e^x cos x$
- 若函数y=f(x)的导数$y' = f'(x)$可导
- 则称$f'(x)$的导数为f(x)的二阶导数
- 记为
$y''$ 或$\frac{d^2y}{dx^2}$ - 即：$y'' = (y')'$ 或
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} * (\frac{dy}{dx})$ - 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记为：
-
$y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}$ 或$f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), ..., f^{(n)}(x)$ $y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}$ - 原函数可以称为0阶导数
- 二阶及其以上导数统称为高阶导数