Aula 17 - Circuitos de Segunda Ordem Gerais.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Circuitos de Segunda Ordem Gerais (Genéricos)\n",
    "\n",
    "Jupyter Notebook desenvolvido por [Gustavo S.S.](https://github.com/GSimas)\n",
    "\n",
    "\n",
    "Dado um circuito de segunda ordem, determinamos sua resposta a\n",
    "um degrau x(t) (que pode ser tensão ou corrente), conforme as quatro etapas\n",
    "descritas a seguir:\n",
    "\n",
    "1. Determinamos as condições iniciais x(0) e dx(0)/dt e o valor final x(∞)\n",
    "\n",
    "2. **Desativamos as fontes independentes e obtemos Equação Diferencial de Segunda Ordem**\n",
    "\n",
    "3. Determinamos raízes características e encontramos a forma da resposta transiente xt(t).\n",
    "\n",
    "4. **Dependendo se a resposta for com amortecimento supercrítico, com amortecimento crítico ou com subamortecimento, obtemos xt(t) com duas constantes desconhecidas**\n",
    "\n",
    "5. Obtemos a resposta de estado estável xss(t) = x(∞)\n",
    "\n",
    "6. **A resposta total agora é encontrada como a soma das respostas transiente e de estado estável**\n",
    "\n",
    "7. Finalmente, estabelecer as constantes associadas com a resposta transiente impondo as condições iniciais x(0) e dx(0)/dt, determinadas no item 1.\n",
    "\n",
    "Podemos aplicar esse procedimento geral para encontrar a resposta a um\n",
    "degrau de um circuito de segunda ordem, inclusive aqueles com amplificadores\n",
    "operacionais."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 8.9**\n",
    "\n",
    "Determine a resposta completa v e, em seguida, i para t > 0 no circuito da Figura 8.25.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/x391tmC.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Exemplo 8.9\n",
      "\n",
      "i(0): 0 A\n",
      "v(0): 12 V\n",
      "i(oo): 2.0 A\n",
      "v(oo): 4.0 V\n",
      "Resposta completa v(t): 4.0 + 12*exp(-2*t) - 4*exp(-3*t) V\n",
      "i(t): 2.0 - 6.0*exp(-2*t) + 4.0*exp(-3*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 8.9\\n\")\n",
    "\n",
    "from sympy import *\n",
    "\n",
    "t = symbols('t')\n",
    "\n",
    "V = 12\n",
    "C = 1/2\n",
    "L = 1\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "i0 = 0\n",
    "v0 = V\n",
    "\n",
    "print(\"i(0):\",i0,\"A\")\n",
    "print(\"v(0):\",v0,\"V\")\n",
    "\n",
    "#Para t = oo\n",
    "i_f = V/(4 + 2)\n",
    "vf = V*2/(4 + 2)\n",
    "\n",
    "print(\"i(oo):\",i_f,\"A\")\n",
    "print(\"v(oo):\",vf,\"V\")\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "#desativar fontes independentes\n",
    "\n",
    "#i = v/2 + C*dv/dt\n",
    "\n",
    "#4i + L*di/dt + v = 0\n",
    "    #4*(v/2 + 1/2*dv/dt) + d(v/2 + 1/2*dv/dt)/dt + v = 0\n",
    "    #2v + 2dv/dt + 1/2*dv/dt + 1/2*d^2v/t^2 + v = 0\n",
    "    #d^2v/dt^2 + 5dv/dt + 6v = 0\n",
    "    \n",
    "#s^2 + 5s + 6 = 0\n",
    "s1 = -2\n",
    "s2 = -3\n",
    "    \n",
    "#Raizes reais e negativas: Superamortecido\n",
    "\n",
    "#vn(t) = A1*exp(-2t) + A2*exp(-3t)\n",
    "#vss(t) = v(oo) = 4\n",
    "\n",
    "#v(t) = 4 + A1*exp(-2t) + A2*exp(-3t)\n",
    "\n",
    "#dv(0)/dt = -2A1 -3A2 = ic(0)/C\n",
    "    #ic(0) = -6\n",
    "    #C = 1/2\n",
    "    #-2A1 - 3A2 = -12\n",
    "    #2A1 + 3A2 = 12\n",
    "\n",
    "#v(0) = 4 + A1 + A2 = 12\n",
    "    #A1 + A2 = 8\n",
    "\n",
    "#2(8 - A2) + 3A2 = 12\n",
    "A2 = -4\n",
    "A1 = 12\n",
    "\n",
    "v = A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t) + vf\n",
    "\n",
    "print(\"Resposta completa v(t):\",v,\"V\")\n",
    "\n",
    "#i = v/2 + C*dv/dt\n",
    "\n",
    "i = v/2 + C*diff(v,t)\n",
    "\n",
    "print(\"i(t):\",i,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 8.9**\n",
    "\n",
    "Determine v e i para t > 0 no circuito da Figura 8.28. (Ver comentários sobre fontes de corrente no Problema prático 7.5.)\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/WjXMK0i.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 36,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Problema Prático 8.9\n",
      "v(0): 0 V\n",
      "i(0): 0 A\n",
      "i(oo): 3 A\n",
      "v(oo): 12 V\n",
      "dv(0)/dt: 60.0 V/s\n",
      "di(0)/dt: 15.0 A/s\n",
      "Raízes s1 e s2: -5 , -2\n",
      "Constantes A1 e A2: -12.0 , 0.0\n",
      "Resposta completa v(t): 12 - 12.0*exp(-5*t) V\n",
      "Resposta i(t): 3 - 3.0*exp(-5*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 8.9\")\n",
    "\n",
    "s = symbols('s')\n",
    "\n",
    "C = 1/20\n",
    "L = 2\n",
    "Is = 3\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "v0 = 0\n",
    "i0 = 0\n",
    "\n",
    "print(\"v(0):\",v0,\"V\")\n",
    "print(\"i(0):\",i0,\"A\")\n",
    "\n",
    "\n",
    "#Para t = oo\n",
    "i_f = Is\n",
    "vf = 4*Is\n",
    "\n",
    "print(\"i(oo):\",i_f,\"A\")\n",
    "print(\"v(oo):\",vf,\"V\")\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "dv0 = Is/C\n",
    "di0 = 10*Is/L\n",
    "\n",
    "print(\"dv(0)/dt:\",dv0,\"V/s\")\n",
    "print(\"di(0)/dt:\",di0,\"A/s\")\n",
    "\n",
    "#desativar fontes indep.\n",
    "\n",
    "#4i + L*di/dt - v + 10i = 0\n",
    "#i = -C*dv/dt\n",
    "#14(-1/20*dv/dt) + 2(-1/20*d^2v/dt^2) - v = 0\n",
    "    #-1/10*d^2v/dt^2 - 7/10*dv/dt - v = 0\n",
    "    #d^2v/dt^2 + 7*dv/dt + 10v = 0\n",
    "\n",
    "#s^2 + 7s + 10 = 0\n",
    "r = solve(s**2 + 7*s + 10,s)\n",
    "s1,s2 = r[0],r[1]\n",
    "\n",
    "print(\"Raízes s1 e s2: {0} , {1}\".format(s1,s2))\n",
    "\n",
    "#Raizes reais e negativas: Superamortecido\n",
    "\n",
    "#v(t) = vf + A1*exp(-5t) + A2*exp(-2t)\n",
    "#v0 = A1 + A2 = -12\n",
    "    #A1 = -12 - A2\n",
    "#dv0/dt = -5A1 -2A2 = 60\n",
    "    #-5A1 - 2(-12 - A1) = 60\n",
    "A1 = (60-24)/(-3)\n",
    "A2 = -12 - A1\n",
    "\n",
    "print(\"Constantes A1 e A2: {0} , {1}\".format(A1,A2))\n",
    "\n",
    "v = A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t) + vf\n",
    "\n",
    "print(\"Resposta completa v(t):\",v,\"V\")\n",
    "\n",
    "#3 = C*dv/dt + i\n",
    "i = 3 - C*diff(v,t)\n",
    "\n",
    "print(\"Resposta i(t):\",i,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 8.10**\n",
    "\n",
    "Descubra vo(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.29.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/qHbPyPg.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 37,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Exemplo 8.10\n",
      "\n",
      "i1(0): 0 A\n",
      "i2(0): 0 A\n",
      "i(oo): 2.3333333333333335 A\n",
      "di1(0)/dt: 14.0 A/s\n",
      "di2(0)/dt: 0.0 A/s\n",
      "Raizes s1 e s2: -10 , -3\n",
      "Constantes A1 e A2: -1.0000000000000002 , -1.3333333333333333\n",
      "i1(t): 2.33333333333333 - 1.33333333333333*exp(-3*t) - 1.0*exp(-10*t) A\n",
      "i2(t): 2.33333333333333 - 3.33333333333333*exp(-3*t) + 1.0*exp(-10*t) A\n",
      "V0(t): -4.44089209850063e-16 + 2.0*exp(-3*t) - 2.0*exp(-10*t) V\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 8.10\\n\")\n",
    "\n",
    "V = 7\n",
    "L1 = 1/2\n",
    "L2 = 1/5\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "i1_0 = 0\n",
    "i2_0 = 0\n",
    "\n",
    "print(\"i1(0):\",i1_0,\"A\")\n",
    "print(\"i2(0):\",i2_0,\"A\")\n",
    "\n",
    "#Para t = oo\n",
    "i_f = V/3\n",
    "\n",
    "print(\"i(oo):\",i_f,\"A\")\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "#di1(0)/dt = vl/L1\n",
    "di1 = V/L1\n",
    "#di2(0)/dt = vl/L2\n",
    "di2 = 0/L2\n",
    "\n",
    "print(\"di1(0)/dt:\",di1,\"A/s\")\n",
    "print(\"di2(0)/dt:\",di2,\"A/s\")\n",
    "\n",
    "#desligar fontes indep.\n",
    "#3i1 + 1/2*di1/dt + (i1 - i2) = 0\n",
    "    #4i1 + 1/2*di1/dt - i2 = 0\n",
    "#1/5*di2/t + i2 - i1 = 0\n",
    "    #4/5*di1/dt + 1/10*d^2i1/dt^2 + 4i1 + 1/2*di1/dt - i1 = 0\n",
    "    #d^2i1/dt^2 + 13di1/dt + 30i1 = 0\n",
    "\n",
    "#s^2 + 13s + 30 = 0\n",
    "\n",
    "r = solve(s**2 + 13*s + 30,s)\n",
    "s1,s2 = r[0],r[1]\n",
    "\n",
    "print(\"Raizes s1 e s2: {0} , {1}\".format(s1,s2))\n",
    "\n",
    "#raizes reais e negativas: Superamortecido\n",
    "\n",
    "#i1(t) = 7/3 + A1*exp(-10t) + A2*exp(-3t)\n",
    "#i1(0) = 7/3 + A1 + A2 = 0\n",
    "    #A1 = -7/3 - A2\n",
    "#di1(0)/dt = -10A1 -3A2 = 14\n",
    "    #-10(-7/3 - A2) - 3A2 = 14\n",
    "A2 = (14 - 70/3)/7\n",
    "A1 = -7/3 - A2\n",
    "\n",
    "print(\"Constantes A1 e A2: {0} , {1}\".format(A1,A2))\n",
    "\n",
    "i1 = i_f + A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)\n",
    "\n",
    "print(\"i1(t):\",i1,\"A\")\n",
    "\n",
    "#V = 3i1 + L1*di1/dt + (i1 - i2)\n",
    "i2 = 3*i1 + L1*diff(i1,t) + i1 - V\n",
    "\n",
    "print(\"i2(t):\",i2,\"A\")\n",
    "\n",
    "vo = i1 - i2\n",
    "\n",
    "print(\"V0(t):\",vo,\"V\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 8.10**\n",
    "\n",
    "Para t > 0, obtenha vo(t) no circuito da Figura 8.32. (Sugestão: Determine primeiro v1 e v2.)\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/c5StQVj.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 71,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Problema Prático 8.10\n",
      "v1(0) e v2(0): 0 V\n",
      "v1(oo) e v2(oo): 20 V\n",
      "dv1(0)/dt: 40.0 V/s\n",
      "dv2(0)/dt: 0 V/s\n",
      "Raizes para v2: -6 -1\n",
      "Constantes A1 e A2: 4.0 -24.0\n",
      "v2(t): 20 - 24.0*exp(-t) + 4.0*exp(-6*t) V\n",
      "v1(t): 20 - 16.0*exp(-t) - 4.0*exp(-6*t) V\n",
      "Resposta vo(t): 8.0*exp(-t) - 8.0*exp(-6*t) V\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 8.10\")\n",
    "\n",
    "V = 20\n",
    "C1 = 1/2\n",
    "C2 = 1/3\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "v1_0 = 0\n",
    "v2_0 = 0\n",
    "\n",
    "print(\"v1(0) e v2(0):\",v1_0,\"V\")\n",
    "\n",
    "#Para t = oo\n",
    "v1_f = V\n",
    "v2_f = V\n",
    "\n",
    "print(\"v1(oo) e v2(oo):\",v1_f,\"V\")\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "#dv1(0)/dt = i1(0)/C1 = (V/1)/(1/2)\n",
    "dv1 = V/C1\n",
    "#dv2(0)/dt = i2(0)/C2 = 0/C2\n",
    "dv2 = 0\n",
    "\n",
    "print(\"dv1(0)/dt:\",dv1,\"V/s\")\n",
    "print(\"dv2(0)/dt:\",dv2,\"V/s\")\n",
    "\n",
    "#desligar fontes indep.\n",
    "#v1/1 + C1*dv1/dt + vo/1 = 0\n",
    "#vo = v1-v2\n",
    "    #v1 + 1/2*dv1/dt + v1-v2 = 0\n",
    "    #dv1/dt + 4v1 - 2v2 = 0\n",
    "#v1 = 1*C2*dv2/dt + v2\n",
    "    #1/3*d^2v2/dt^2 + dv2/dt + 4/3*dv2/dt + 4v2 - 2v2 = 0\n",
    "    #d^2v2/dt^2 + 7dv2/dt + 6v2 = 0\n",
    "\n",
    "#s^2 + 7s + 6 = 0\n",
    "\n",
    "r = solve(s**2 + 7*s + 6,s)\n",
    "s1,s2 = r[0],r[1]\n",
    "\n",
    "print(\"Raizes para v2:\",s1,s2)\n",
    "\n",
    "#raizes reais e negativas: Superamortecido\n",
    "\n",
    "#v2(t) = 20 + A1*exp(-6t) + A2*exp(-t)\n",
    "#v2(0) = 20 + A1 + A2 = 0\n",
    "    #A2 = -20 - A1\n",
    "#dv2(0)/dt = -6A1 - A2 = 0\n",
    "    #-6A1 - (-20 - A1) = 0\n",
    "A1 = 20/5\n",
    "A2 = -20 - A1\n",
    "\n",
    "print(\"Constantes A1 e A2:\",A1,A2)\n",
    "\n",
    "v2 = v2_f + A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)\n",
    "print(\"v2(t):\",v2,\"V\")\n",
    "\n",
    "v1 = C2*diff(v2,t) + v2\n",
    "print(\"v1(t):\",v1,\"V\")\n",
    "\n",
    "vo = v1 - v2\n",
    "print(\"Resposta vo(t):\",vo,\"V\")"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.5.3"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}