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Problemas de atualização em intervalos

Suponha que você se depare com um problema do seguinte tipo:

Você recebe um vetor v , inicialmente com todos seus números zerados, e q queries. cada query virá representada por 3 inteiros (l,r,x). Ao receber cada query, a mudança esperada é: "Para cada número no vetor, seja i o seu índice. Se l <= i <= r, v[i] deve ter x adicionado ao seu valor. Ao final do programa, deve-se imprimir o vetor todo com seus valores atualizados.

A primeira solução que já vem a cabeça é a seguinte:

int n,q;
	
scanf("%d %d",&n,&q);
vi v(n,0);

for (int i = 0; i < q; ++i){
    int l,r,x;
    scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);

    for (int j = l; j <= r; ++j){
        v[j] += x;
    }
}

Nessa solução, para cada uma das q queries, o pior caso seria l = 0 e r = n-1, que faz o laço interno iterar n vezes, o que nos dá uma complexidade O(n*q). Precisamos ser mais rápidos.

Delta encoding

Delta encoding é uma técnica para resolver problemas desse tipo. Precisamos fazer atualizações em intervalos, mas como o vetor só precisa ser visualizado no final, o que fazemos é fazer todas de uma vez só no final. A ideia por trás dessa solução funciona da seguinte forma: Vamos criar um vetor auxiliar delta, que é o vetor que vai acumular as atualizações.

Atualização do intervalo (l,r)

Dessa forma, quando estivermos lendo uma query (l,r,x), faremos o seguinte:

vector<int> delta(n,0);
for(int i = 0; i < q; i++){
    int l,r,x;
    scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    delta[l] += x;
    delta[r+1] -= x;
}

O trecho de código acima é o delta encoding por si só, o nome é esse porque estamos codificando a informação de que precisamos atualizar aquele intervalo. A parte interessante, é que nesse laço, nossa atualização funciona em O(1).

Obtendo os valores após várias atualizações

Tendo as informações organizadas dessa forma, isso nos permite percorrer o vetor delta da esquerda pra direita obtendo os valores finais do vetor, em O(n).

Isso é feito criando uma variável atual, inicializada com 0. Então, enquanto percorremos o vetor, na i-ésima iteração, sempre somamos a essa variável delta[i], após isso, a configuração final de v[i] será o valor de atual.

Então, é por esse motivo que guardamos a informação daquela forma no vetor. Como vamos percorrer da esquerda pra direita, quando fazemos v[l] += x, estamos dizendo, quando você passar no índice l, você deve adicionar mais x a resposta. E quando fazemos v[r+1] -= x, dizemos: quando seu índice for maior que r, pare de considerar x no resultado.

Dessa forma, a versão final:

vector<int> delta(n+5,0);
vector<int> v(n);

for(int i = 0; i < q; i++){
    int l,r,x;
    scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    delta[l] += x;
    delta[r+1] -= x;
}

int atual = 0;

for(int i = 0; i < n; i++){
    atual += delta[i];
    v[i] = atual;
}

for(int i = 0; i < n; i++){
    printf("%d ",v[i]);
}
printf("\n");

Ressalvas

Análogo as somas prefixas, mas de forma inversa, essa ED processa atualizações em intervalo muito rapidamente O(1), porém, quando é necessário saber os valores do vetor, e há atualizações pendentes, é necessário percorrer novamente o vetor todo O(n), então essa ED funciona melhor com muitas atualizações e poucas consultas.