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\section{Kurvenintegral (Linienintegral)}
Bezeicht das Integral über einen Weg im $\R^n$ (auch Wegintegral).
In Übungen sind nur immer Integrale der 2. Art vorgekommen.
\subsection{Parametrisierung von Kurven}
Grundlegender Tipp: Skizze machen, um Grenzen und Kurve besser zu verstehen und
schneller auf die Parametrisierung zu kommen.
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Wenn die Kurve in Form
$
C = \{\vec{r} \in \R^n | \vec{r} = \gamma(t), a \leq t \leq b\}
$\\
bereits gegeben, so ist klar, dass $\gamma(t)$ der Weg ist und das Integral von
$a$ nach $b$ verläuft.
\item Die Paramtrisierung einer \underline{Strecke} von $\vec{a}$ nach $\vec{b}$:\\
$\gamma(t) = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a}), \quad 0 \leq t \leq 1$
\item Die Parametrisierung eines \underline{Kreises} mit Mittelpunkt $(x_0, y_0)$ und
Radius $r$ ist: $\gamma(t) =
\begin{pmatrix}
x_0 + r \cos(t)\\
y_0 + r \sin(t)
\end{pmatrix}$. Für einen vollen Kreis gilt $0 \leq t \leq 2\pi$, für Kreisteile
schränkt man diesen Intervall entsprechend ein.
\item Parametrisierung eines \underline{Graphen} der Funktion $f(x)$ für $x$
zwischen $a$ und $b$: $\gamma(t) =
\begin{pmatrix}
t\\
f(t)
\end{pmatrix}, \quad a \leq t \leq b$. \underline{Achtung:} Hat man zwei
Graphen, die als Grenzen für das Kurvenintegral fungieren, so schliessen diese
gemeinsam eine Fläche ein. Die Umlaufrichtung ist so zu wählen, dass diese
Fläche jeweils links liegt.
\end{itemize}
% Beispiel unverständlich
%\subsubsection{Beispiel: Kurvenintegral mit zwei Grenzgraphen}
% Analysis 2, Serie 12, Aufgabe 2b
%Es soll das Kurvenintegral $\int_\gamma K(x,y)\;dt = \int_\gamma
%\begin{pmatrix}
%x^2 - y^2\\
%2y -x
%\end{pmatrix}\;dt$ berechnet werden. $\gamma$ ist der Rand des beschränkten
%Gebietes im ersten Quadranten, welches durch die Graphen $y=x^2$ und $y=x^3$ begrenzt
%wird.
%Lösung: Man macht eine Skizze der Grenzen ($y=x^2$ und $y=x^3$) und sieht, dass
%diese eine Fläche einschliessen. Die Schnittpunkte sind $x = 0$ und $x = 1$. Der
%Rand dieses Gebiets besteht also aus den beiden parametrisierten Kurven
%(Parametrisierung für Graphen verwenden)
%\begin{align*}
%\gamma_1(t) &= \begin{pmatrix}t\\t^3\end{pmatrix} & t \in [0,1]\\
%\gamma_2(t) &= \begin{pmatrix}t\\t^2\end{pmatrix} & t \in [0,1]
%\end{align*}
%Wir sehen, dass die eingeschlossene Fläche in Durchlaufrichtung von $\gamma_1$
%links liegt, was soweit gut ist. Bei $\gamma_2$ liegt die Fläche aber auf der
%rechten Seite, weshalb wir die Durchlaufrichtung drehen müssen, was zu $\gamma
%= \gamma_1 - \gamma_2$ führt (man beachte das Minus statt einem Plus).
%Jetzt muss nur noch ganz normal das Wegintegral berechnet werden: $\int_\gamma
%K\;dx = \int_{\gamma_1} K\;dx + \int_{-\gamma_2} K\;dx = \int_{\gamma_1} K\;dx -
%\int_{\gamma_2} K\;dx = \ldots$
%\subsection{Berechnung}
%Die Berechnung findet in drei Schritten statt:
%\begin{enumerate}[leftmargin=*]
% \item Parametrisierung der Kurve $C$ als $C = \{\vec{r} \in \R^n | \vec{r} = \gamma(t), a \leq t \leq b\}$
% \item Einsetzen ins Integral: $\int_C f(\vec{r})\,ds = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma(t)'\|\,dt$.
% Man setzt also für die Variabeln von $f$ die Komponenten von $\gamma$ ein und
% multipliziert dies dann mit dem Betrag der Ableitung nach $t$ von $\gamma$.
% \item Integral ausrechnen.
%\end{enumerate}
\subsection{2. Art (Weg über Vektorfeld)}
Das Wegintegral über ein \underline{stetiges Vektorfeld} $F: \R^n \to \R^n$
entlang eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma: [a,b] \to \R^n$ ist definiert
durch:
\[
\int_\gamma F(\vec{x}) d\vec{x} := \int_a^b \left< F(\gamma(t)), \gamma(t)' \right> dt
\]
\underline{Skalarprodukt}: $\left< \vec{a}, \vec{b} \right> = a_x b_x + a_y b_y + \ldots$
\begin{satz}[Hauptsatz für Kurvenintegrale]
Ist $\gamma$ ein Weg mit Anfangspunkt $\vec{a}$ und Endpunkt $\vec{b}$ (nicht mit a, b von $\gamma: [a, b]$ verwechseln!) und $f$ eine stetig differenzierbare Funktion so ist:
\[
\int_{\gamma} \grad f(\vec{x}) \, d\vec{x} = f(\vec{b}) - f(\vec{a})
\]
Dh: Wenn $F$ ein Potential $\phi$ besitzt (also $F = \grad \phi$), dann kann der Weg so berechnet werden: $\phi(\vec{b}) - \phi(\vec{a})$
\end{satz}
\begin{lemma}[Geschlossener Weg]
Wenn das Vektorfeld $F$ ein Potential besitzt \uline{und} $\gamma$ geschlossen ist, so folgt $\int_\gamma F = 0$.\\
Merke: $F$ besitzt genau dann ein Potential wenn:\\
$F = \grad \phi$ oder ($\rot F = \vec{0}$ und der DB zusammenhängend ist)
\end{lemma}
\textbf{Beispiel}\\
%Beispiel Analysis II Serie 11 4a)
Berechne das Linienintegral $\int_\gamma F \, d\vec{x} $ für $ F(x,y) = (x^2+y, 2xy)$ und $\gamma$ als Einheitskreis mit positivem Umlaufsinn.
Gegeben:
\begin{align*}
F(x,y) &= (x^2+y, 2xy) \\
\gamma &: [0,2\pi] \to \R^2\\
\gamma &: t \mapsto (\cos(t), \sin(t))
\end{align*}
Zu berechnen:
\begin{eqnarray*}
\gamma(t)' &=& (-\sin(t),\cos(t))\\
F(\gamma(t)) &=& (\cos^2(t) + \sin(t), 2 \cos(t)\sin(t))\\
\left< F(\gamma(t)), \gamma(t)' \right> &=& -\cos^2(t)\sin(t) - \sin^2(t) + 2\cos^2(t)\sin(t)\\
&=& \cos^2(t)\sin(t) - \sin^2(t)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\int_\gamma F d\vec{x} &=& \int_0^{2\pi} \left< F(\gamma(t)), \gamma(t)' \right> dt\\
&=& \int_0^{2\pi} \cos^2(t)\sin(t) - \sin^2(t) dt\\
&=& \left. -\frac{1}{3}\cos^3(t) - \frac{1}{2}(t - \sin(t)\cos(t))
\right|_0^{2\pi} = \underline{\underline{-\pi}}
\end{eqnarray*}
\subsection{1. Art (Weg über Skalarfeld)}
Das Wegintegral einer \underline{stetigen Funktion} $f: \R^n \to \R$ entlang
eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma: [a,b] \to \R^n$ ist definiert durch:
\vspace{-0.3cm}\[
\int_\gamma f ds := \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma(t)'\|_2 dt
\]
\underline{Euklidische Norm}: $\|\vec{a}\|_2 = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + \ldots}$.
Achtung: Zuerst $\gamma(t)$ nach $t$ ableiten und erst dann die Norm davon berechnen!
\textbf{Beispiel}
% Beispiel von http://www.tu-ilmenau.de/fileadmin/media/num/neundorf/Dokumente/Lehre/hm/Kurven_Integral.pdf Seite 2
Es sei die Schraubenlinie (Spirale in 3D)
\[
\gamma : [0,2\pi] \to \R^3, \gamma : t \mapsto (\cos(t), \sin(t), t)
\]
und $f(x,y,z) := x^2 + y^2 + z^2$ gegeben. Wir berechnen $\int_\gamma f ds$. Zunächst bestimmen wir
\begin{align*}
\|\gamma(t)'\|_2 &= \sqrt{\left[\frac{d(\cos t)}{dt}\right]^2 +
\left[\frac{d(\sin t)}{dt}\right]^2 + \left[\frac{dt}{dt}\right]^2} \\
&= \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)+1}=\sqrt{2}
\end{align*}
Dann substituieren wir x,y und z und erhalten
\[
f(x,y,z) = f(\gamma(t)) = \sin^2(t)+\cos^2(t)+t^2 = 1 +t^2
\]
auf $\gamma$. Das führt zu
{\vspace{-0.2cm}\small
\begin{align*}
\int_\gamma f(x,y,z) ds &= \int_0^{2\pi} (1 +t^2)\sqrt{2} dt = \left. \sqrt{2}(t+\frac{t^3}{3}) \right|_0^{2\pi}
= \frac{2\sqrt{2}\pi}{3}(3+4\pi^2)
\end{align*}}
\vspace{-0.4cm}
\subsection{Bogenlänge}
\begin{definition}[Bogenlänge in kartesischen Koordinaten] Die Bogenlänge des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion $f: [a, b] \to \R$ ist definiert durch:
$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x)^2)}$
\end{definition}
% Never used so far, therefore we omit it for now
%\begin{definition}[Bogenlänge in Parameterform] Für die Bogenlänge L, auf dem Weg beschrieben durch $x(t)$ und $y(t)$, ergibt sich:
%\[
% L = \int ds = \int_a^b \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} dt
%\]
%\end{definition}
\pagebreak